Wprowadzenie do kryptografii

Tajemnice, poufne dane, zaszyfrowane wiadomości… Od zarania dziejów staramy się znaleźć i wykorzystać sposoby bezpiecznego przekazywania informacji. Kiedyś wystarczały proste szyfry polegające na zastąpieniu znaku innym znakiem. W dobie komputerów złamanie starych szyfrów to kwestia kilku sekund. A właśnie współcześnie ochrona informacji stała się niezwykle istotnym problemem. W codziennym życiu korzystamy z wielu aplikacji, które zbierają i przetwarzają dane. Jednym z największych wyzwań współczesnych systemów komputerowych jest zapewnienie im bezpieczeństwa.

Matematyczne podejście do technik szyfrowania pozwoliło opracować metody, które zapewniają bezpieczne korzystanie z nowoczesnych osiągnięć technologicznych w życiu codziennym.

Kurs ,,Wprowadzenie do kryptografii'' prezentuje te nowoczesne i nieco starsze metody szyfrowania. Uczestnik kursu pozna szyfr Cezara, szyfry strumieniowe i oparte na macierzach, kryptosystemy asymetryczne z kluczem publicznym, schemat Diffie'go-Hellmana wymiany klucza oraz podpisy cyfrowe oparte na tych kryptosystemach. Prezentacja szyfrów jest wzbogacona o niezbędne do zrozumienia zasady ich działania elementy teorii liczb, arytmetyki modularnej i rachunku macierzowego.

Wystarczającą bazą jest znajomość matematyki w zakresie szkoły podstawowej. Uczestnik kursu pozna (od podstaw) niezbędne do zrozumienia zasad szyfrowania elementy matematyki.

Celem kursu jest zapoznanie uczestników ze schematami klasycznych systemów szyfrowania (począwszy od szyfru Cezara) i elementami matematyki, na których szyfry te są oparte. 

Wiedza:

• Znajomość podstaw matematyki modularnej i rachunku macierzowego oraz elementów teorii liczb.
• Znajomość matematycznych podstaw klasycznych szyfrów (podstawieniowych, macierzowych, asymetrycznych z kluczem publicznym).
• Znajomość zasady działania podpisu cyfrowego i elementów matematyki, na których się ono opiera.

Umiejętności:

• Umiejętność tworzenia klucza dla szyfrów: Cezara, Vigenère'a, szyfrów afinicznych i strumieniowych oraz użycia go do szyfrowania i deszyfrowania wiadomości.
• Umiejętność przygotowania kluczy: prywatnego i publicznego dla szyfrów RSA i ElGamala oraz ich użycia do szyfrowania i deszyfrowania wiadomości.
• Umiejętność przeprowadzenia (na odpowiednio małych liczbach) sprawdzenia poprawności podpisu cyfrowego.

Kurs realizowany jest w trybie we własnym tempie, co oznacza, że czas udostępniania poszczególnych aktywności nie jest sztywno określony; również terminy wykonania zadań w kursie są maksymalnie elastyczne. Uczestnicy kursu mogą pracować we własnym tempie - jedynym wymogiem jest, aby zdążyć ukończyć kurs przed terminem jego zamknięcia. Edycja kursu otwarta jest przez 10 tygodni, a rekomendowany czas nauki to 4 godziny tygodniowo.  Możliwe jest jednak ukończenie kursu w dużo krótszym czasie np. nawet w ciągu jednego tygodnia.

Uczestnik kursu ma do rozwiązania 30 punktowanych testów sprawdzających jego wiedzę i umiejętności. Aby uzyskać zaliczenie należy uzyskać co najmniej połowę możliwych do zdobycia punktów.   

Każdy uczestnik, który zgromadzi co najmniej 50% punktów, uzyska dokument potwierdzający. Zaświadczenie jest generowane automatycznie na końcu kursu.

MODUŁ 1: Wprowadzenie do kursu

• Kilka słów wprowadzenia

MODUŁ 2: Podstawy arytmetyki modularnej

• Szyfr Cezara
• Wprowadzenie do arytmetyki modularnej
• Liczby pierwsze
• Twierdzenie Eulera i Małe twierdzenie Fermata 

MODUŁ 3: Szyfry strumieniowe

• Szyfr Vigenère'a
• Przedstawienie binarne liczby naturalnej
• Szyfr Vigenère'a dla komputera

MODUŁ 4: Arytmetyka modularna

• Odwrotność multiplikatywna modulo n
• Chińskie twierdzenie o resztach
• Rząd liczby modulo
• Pierwiastki pierwotne
• Logarytm dyskretny

MODUŁ 5: Podstawy rachunku macierzowego

• Podstawowe określenia
• Działania na macierzach
• Macierze odwrotne

MODUŁ 6: Szyfry oparte na macierzach

• Szyfr Vigenère'a w ujęciu macierzowym
• Szyfry afiniczne

MODUŁ 7: Kryptosystemy RSA, ElGamala i schemat wymiany klucza

• Kryptosystem RSA
• Kryptosystem ElGamala
• Schemat Diffiego-Hellmana wymiany klucza

MODUŁ 8: Podpis cyfrowy

• Podpis cyfrowy wykorzystujący szyfrowanie RSA
• Podpis cyfrowy wykorzystujący szyfr ElGamala

Kurs przygotowały oraz prowadzą dr Magdalena Grzech i dr Beata Strycharz-Szemberg. Autorki pracują w Katedrze Matematyki Stosowanej Politechniki Krakowskiej im. Tadeusza Kościuszki. Obie Autorki mają nie tylko duże doświadczenie w pracy dydaktycznej na uczelni technicznej, ale są także zaangażowane we współpracę  ze środowiskiem oświatowym np. przez wykłady popularyzujące matematykę  w ramach Współpracy Politechniki Krakowskiej ze Szkołami Średnimi, przygotowanie i prowadzenie zajęć dla Uniwersytetu Dzieci oraz w ramach projektu pt. Kalejdoskop Matematyczny